평균에 대해_(산술평균, 기하평균, 조화평균)

안녕하세요.

오늘은 수학, 통계학에서 많이 쓰이는 평균에 대해 알아보도록 하겠습니다.

세상에는 다양한 값들이 존재하며, 다양한 값들이 모여서 자료를 이루게 됩니다.

이러한 자료 전체의 특징을 나타내는 값을 대푯값이라고 합니다. 대푯값은 자료의 중심적인 값으로 나타내고 평균이 가장 많이 쓰입니다.

 

평균이란 고르지못한 값들을 자료의 중심적인 값으로 평평하고 고르게 펴는 것이라고 할 수 있습니다. 또한, 차이(기준=평균이 있는)들의 합이 0이라고도 할 수 있습니다.

 

이러한 평균들은 종류가 여러가지가 있으며, 자료의 종류에 따라 그에 걸맞는 평균을 써야합니다. 오늘은 가장 기본적인 피타고라스의 평균이라고 불리는 산술평균, 기하평균, 조화평균에 대해 간단한 예제를 통해 알아보고자 합니다.

 

산술평균

산술평균(arithmetic mean)은 주어진 수의 합을 수의 개수로 나눈 값입니다.

공식으로는 주어진 수의 합 ÷ 수의 개수가 됩니다.

만약 주어진 수가 a,b 2개가 있다면 (a+b) / 2 가 됩니다.

 

과일 A의 갯수가 40개, B의 갯수가 80개일 때 총 과일 갯수의 평균값은?

 

   (40+80) / 2

= 120 / 2

=  60

 

위와 같은 공식을 통해 과일갯수의 평균값의 60개임을 알 수 있습니다.

 

기하평균

기하평균(geometric mean)은 n개의 양수 값을 모두 곱한 것의 n제곱근입니다.

산술평균이 더하기 평균이라면, 기하평균은 곱하기 평균이라고 이해하시면 편할 것입니다. 이는 보통 금융쪽에서 많이 쓰입니다.

 

만약 3개의 양수 값이 a,b,c가 있을 시 기하평균은 (a×b×c)의 세제곱근입니다.

 

만약 회사에서 올해 연봉은 작년 연봉의 10퍼센트 인상되었고,

내년에 경기가 좋아져서 내년연봉이 올해연봉의 30퍼센트가 인상되었다고 합시다.

그러면 두해의 평균 인상률은 얼마가 될까요?

대부분은 20퍼센트라고 말하는데 이는 평균에 대한 개념을 잘 모르기 때문입니다.

이럴 때 기하평균을 쓰게 됩니다.

 

1.1(작년 연봉의 10퍼센트) × 1.3(올해연봉의 30퍼센트)  = 1.43  이므로, 평균은 어떤 수의 제곱이 1.43가 되면 되는 것입니다. 즉, 연봉인상률의 평균은 √1.43이 됩니다.

 

평균 인상률이 20퍼센트라면 

1.2 × 1.2 = 1.44 이기 때문에 √1.44가 될 것입니다.

 

비교해보았을 때 작지만 다른 차이가 나오게 되는 것 입니다.

 

또 다른 문제로,

어떤 회사의 생산량이 매년 2배, 3배, 5배로 커졌다면 평균 일년에 몇 배로 커진것일까? 라는 문제 역시 기하평균으로 

일년 평균에 (2 × 3 × 5)의 세제곱근의 배로 커진 것이 되겠습니다.

 

 

조화평균

조화평균(harmonic mean)은 평균적인 변화율을 구할 때에 주로 사용합니다. 

공식으로는 갈때는 A라는 속력으로 가고, 올때는 B라는 속력으로 갔을 때 2AB ÷ (A+B) 입니다.

 

만약 A에서 B까지의 거리 100키로라고 합시다.

갈때는 10km/h, 올때는 20km/h로 왔을 때 평균속력은 얼마인가를 묻는 문제입니다.

이를 잘 모르는 사람들은 15km/h 인것이 아니냐고 할 수 있습니다.

 

갈때는 10km/h이기 때문에 총 10시간이 걸렸을 것입니다. 올때는 20km/h로 갔기에 총 5시간이 걸렸을 것입니다. 

그리고 평균속력은 거리 ÷ 시간이기 때문에

 

(100km + 100km) ÷ (10시간 + 5시간) = 200 ÷ 15 = 13.3333km/h가 됩니다.

 

이를 조화평균 공식으로 써보면 2AB ÷ (A+B) 입니다

A = 10km/h, B= 20km/h 이기에 

 

   (2 × 10 × 20) ÷ (10 + 20)

= 400 ÷ 30

= 13.3333 km/h

똑같은 것을 알 수 있습니다.